\begin{exo}
	Calculer les int\'egrales suivantes
	$$\begin{array}{ll}
		I_1=\iint_{[ 0,3] \times [ 0,2]} (4-y^2) \ dxdy, &  I_2=\iint_{[0,3]\times [-2,0]}
		(x^2y-2xy)\   dxdy,\\
		&\\
		I_3=\iint_{[\pi,2\pi]\times [0,\pi]}
		(\sin x + \cos y) \  dxdy, & I_4=\int_{0}^{\pi}
		\left( \int_0^{x} x \sin y \ dy\right)dx,\\
		&\\
		I_5=\int_{0}^{\pi} \left( \int_{0}^{\sin x}
		y\ dy \right) dx, &
		I_6=\int_{1}^{\ln 8} \left( \int_{1}^{\ln y}
		e^{x+y}\ dx \right)dy,\\
		&\\
		I_7=\iiint_{[0,\frac{\pi}{2}]^3} \sin (x+y+z) \    dxdydz. &

	\end{array}$$
	%
	\\
	%
	%
	%
	%-----------
	\begin{correction}

		$$\begin{array}{lclcl}
			I_1 & = &  3 \left[4y - \frac{y^3}{3}\right]_0^2
			&= &16.\\
			I_2 & = &
			\left( \left[\frac{x^3}{3}-x^2\right]_0^3\right).\left(
			\left[\frac{y^2}{2}\right]_{-2}^0\right)&= &0.\\
			I_3 & = &  \pi \left(
			\int_{\pi}^{2\pi} \sin x \ dx + \int_0^{2\pi}
			\cos y \ dy \right)& = & -2\pi.\\
			I_4 & = &  \int_0^{\pi} x(1-\cos x) \ dx & = &
			\frac{\pi^2}{2^{\phantom{2}}}+2.\\
			I_5 & = &  \int_0^{\pi} \frac{\sin ^2x}{2} \ dx & =
			& \frac{\pi}{4}.\\
			I_6 & = &  \int_1^{\ln 8} (y-e)e^y\ dy & = & 8
			\ln 8 -8e -8+e^2.\\
			I_7 & = &  \hspace{0.2cm}\int_{[0,\frac{\pi}{2}]^2}
			\left(\sin (y+z) +\cos (y+z)\right) \ dydz
			& = &  \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos z \ dz=2.
		\end{array}$$

	\end{correction}
\end{exo}
%=============
\begin{exo}
	Calculer le volume des sous-ensembles suivants de $\RR^3$
	$$\begin{array}{lcl}
		D_1 & = &
		\{(x,y,z)\in \RR^3/ \ z\geq 0,\  x^2+y^2 \leq 1-z\},\\
		D_2 & = &
		\{(x,y,z)\in \RR^3/ \ x^2+y^2+z^2\leq 1\}, \\
		D_3 & = &
		\{(x,y,z)\in (\RR^+)^3/ \ x\leq y,\
		x+y \leq 2,\  z \leq x^2+y^2\}.
	\end{array}$$
	%
	\\

	\noindent %-----------
	\begin{correction}

		$$\begin{array}{lclcl}
			\aire(D_1) & = &
			2\pi\int_0^1 \left( \int_0^{\sqrt{1-z}}  r \ dr \right) \ dz & = &
			\frac{\pi}{2}.\\
			\aire(D_2) & = &  2\pi \int_{-1}^1 \left(
			\int_0^{\sqrt{1-z^2}}  r\ dr \right) \ dz & = &  \frac{4\pi}{3}.\\
			\aire(D_3) & = &  \int_0^1 \left( \int_x^{2-x}
			\left( x^2+y^2 \right) \ dy \right) \ dx &&\\
			& = &  \int_0^1 (2-2x)x^2 \ dx + \frac{1}{3} \int_0^1
			\left( (2-x)^3-x^3 \right) \ dx & &\\
			& = &  \left[ \frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{2} \right]_0^1 -
			\left[ \frac{(2-x)^4}{12}+\frac{x^4}{12} \right]_0^1
			&=& \frac{4}{3}.
		\end{array}$$



	\end{correction}
\end{exo}
%=============
\begin{exo} Calculer les int\'egrales doubles $\iint_D f(x,y)\ dx\ dy$ dans les cas suivants :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x,y)=x^2y$ et $D =\{(x,y) \in \RR^2 \mid x^2 +y^2 \leq 1\}$.
		\item $f(x,y)=xy$ et $D =\{(x,y) \in \RR^2 \mid x\geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1\}$.
		\item $f(x,y)=x^2$ et $D =\{(x,y) \in \RR^2 \mid x^2 \leq y \leq x \}$.
		\item $f(x,y)=(x^2-y^2)e^{xy}$ et $D =\{(x,y) \in \RR^2 \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1,
			x \geq y\}$.

			{\it Indication : on pourra faire le changement de variables $(X,Y)=(x+y,x-y)$}.
		\item $f(x,y)=x \cos(\sqrt{x^2+y^2})$ et $D =\{(x,y) \in \RR^2 \mid x\geq y \geq 0, x^2+y^2 \leq \pi \}$.
	\end{enumerate}


	\noindent %-----------
	\begin{correction}

		\begin{eqnarray*}
			I_1  = & \left( \int_0^1 r^4 \ dr \right).
			\left( \int_0^{2\pi} \sin \theta \cos^2 \theta \ d \theta \right)& =  0.\\
			I_2  = & \int_0^1 \left[\int_0^{1-x}xy\ dy\right]dx= \int_0^1 x\frac{(1-x)^2}{2}dx & = \frac{1}{24}.\\
			I_3 = & \int_0^1 \left[\int_{x^2}^{x} x^2\ dy\right]dx= \int_0^1 (x-x^2)x^2 dx & = \frac{1}{20}.
		\end{eqnarray*}
		Pour $I_4$, $(x,y) \in D=\{(x,y) \in \RR^2 \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1,
		x \geq y\}$ si et seulement si $(X,Y)= (x+y,x-y) \in D'=\{(X,Y) \in \RR^2 \mid X^2+Y^2 \leq 2, X \geq 1, Y \geq 0\}$. La formule de changement de variable donne
		\begin{eqnarray*}
			I_4 & = & \iint_{D'} XYe^{(x^2-Y^2)/4}(\frac{1}{2})dX\ dY  \\
			& = & \frac{1}{2} \int_1^{\sqrt{2}} \left[\int_0^{\sqrt{2-X^2}} Ye^{-Y^2/4}dY \right]
			Xe^{X^2/4}  dX  \\
			& =  & \frac{1}{2} \int_1^{\sqrt{2}}2\left(-Xe^{-\frac{1+X^2}{2}} + X e^{X^2/4} \right) dX  \\
			& = & e + e^{1/2} -2 e^{1/4}.
		\end{eqnarray*}
		\begin{eqnarray*}
			I_5 & = & \iint_{[0,\sqrt{\pi}]\times [0,\pi/4]} r \cos(\theta)\cos(r) rdr \ d\theta \\
			& = &  \left(\int_0^{\sqrt{\pi}} r^2 \cos(r) dr \right) \left( \int_0^{\pi/4} \cos(\theta)\ d\theta
			\right) =
			-\sqrt{2}\pi.
		\end{eqnarray*}


	\end{correction}
\end{exo}
%=============
\begin{exo} Le but de l'exercice est de calculer l'int\'egrale de Gauss $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\ dx$. Pour tout $a>0$, on note
	$$D_a = \{ (x,y) \in \RR^2 \mid x^2+y^2 \leq a^2\},\quad C_a = [-a,a]^2 \text{ et }
	I_a = \iint_{D_a} e^{-(x^2+y^2)}\ dx\ dy. $$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I_a$.\\
		\item On d\'efinit $J_a = \iint_{C_a} e^{-(x^2+y^2)}\ dx\ dy$. Montrer que
			$I_a \leq J_a \leq I_{\sqrt{2}a}$ pour tout $a>0$.\\
		\item Montrer que $\int_{-a} ^{+a} e^{-x^2}\ dx = \sqrt{J_a}$ et en d\'eduire
			sa limite quand $a$ tend vers $+\infty$.
	\end{enumerate}
	\noindent %-----------
	\begin{correction}

		\begin{enumerate}
			\item $$I_a = \iint_{[0,a] \times [0,2\pi]} e^{-r^2}rdr \ d\theta
				= \left(\int_0^a e^{-r^2}rdr\right) \left(\int_0^{2\pi} d\theta \right)
				= \pi(1-e^{-a^2})$$
			\item la fonction int\'egr\'ee est positive et $D_a \subset C_a \subset D_{\sqrt{2}a}$.
			\item
				$$ J_a = \iint_{[0,a]^2} e^{-(x^2+y^2)}dx\ dy = \left(\int_{-a}^a e^{-x^2}dx \right)
				\left(\int_{-a}^a e^{-y^2}dy \right) = \left(\int_{-a}^a e^{-x^2}dx \right)^2$$
				converge vers $\pi= \lim_{a \rightarrow +\infty} I_a$ d'o\`u $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}$.
		\end{enumerate}


	\end{correction}
\end{exo}
%=============
\begin{exo} \begin{enumerate}
	\item Soit $\Gamma$ la courbe de $\RR^2$ d'\'equation $y=(x-1)\ln (x+1)$,
		$x$ variant de $0$ \`a $1$. Calculer
		$$I_1=\int_{\Gamma} \sqrt{x} \ dy -(\sqrt{x} \ln (x+1))\ dx.$$
	\item Soit $C\subset \RR^2$ le cercle de rayon $R$, de centre $(0,0)$
		d\'ecrit dans le sens
		trigononométrique. Calculer
		$$I_2=\int_{C}(2x-y)\ dx + (x+y)\ dy.$$
	\item Soit $\Gamma$  une courbe
		ferm\'ee (lisse) dans $\RR^3$. Calculer
		$$I_3=\int_{\Gamma} yz\ dx + xz \ dy +xy \ dz.$$
\end{enumerate}
%
%-----------
	\begin{correction}

	$$\begin{array}{rcl}
		I_1&=& \int_0^1 \frac{x-1}{x+1} \sqrt{x} \ dx=
		2 \int_0^1\frac{u(u^2-1)}{u^2+1}\ du=\frac{2}{3}+4 {\rm Arctan}(1)=
		\pi +\frac{2}{3}.\\
		I_2&=& R^2\int_0^{2\pi}\left(
		-(2\cos \theta -\sin \theta)\sin \theta + (\cos \theta + \sin \theta)
		\cos \theta\right)\ d\theta\\
		&=&  R^2 \int_0^{2\pi}
		\left( 1-\sin \theta \cos \theta \right)\ d\theta
		= 2\pi R^2.\\
		I_3&=&  0.
	\end{array}$$
	(circulation d'un champ de gradient sur une courbe ferm\'ee)


\end{correction}
\end{exo}
%=============
